Question

10．若x，y＞0，则$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$的最大值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式即可求出．

解答 解：∵x，y＞0，
∴x+y≥2$\sqrt{xy}$，当且仅当x=y时取等号，
（$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$）²=$\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{x+y}$=1+$\frac{2\sqrt{xy}}{x+y}$≤1+1=2，
∴$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$≤$\sqrt{2}$，
故最大值为$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的应用，关键是灵活变形，属于基础题．