Question

3．已知函数f（x）=x³+ax²十bx+c，下列结论中正确的是③④．（填上所有正确结论的序号）
①若f′（x₀）=0，则f（x₀）=0；
②函数y=f（x）的图象是轴对称图形；
③f（x）可能是单调函数；
④?x₀∈R，使得f（x₀）=0．

Answer 1

分析 ①根据极值点的定义以及函数的定义进行判断．
②根据函数的奇偶性进行判断．
③根据导数和函数的单调性进行判断．
④判断函数的值域为R，进行判断．

解答 解：①∵f′（x₀）=0，
∴x₀是f（x）的极值点，
∴根据函数的定义和性质知f（x₀）=0不一定成立，故①不正确；
②∵f（x）=x³+ax²+bx+c，
∴f（-x）=-x³+ax²-x+c≠-f（x）≠-f（x），
∴f（x）为非奇非偶函数，
∴f（x）不是轴对称图形，故②不正确；
③f′（x）=3x²+2ax+b，
当△=4a²-12b≤0时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）单调递增函数，故③正确；
④∵函数f（x）的值域为R，
∴?x₀∈R，使f（x₀）=0，故④正确．
故正确的是③④，
故答案为：③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查导函数与极值的应用，要求熟练掌握三次函数的图象和性质，属于中档题