Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，PO⊥平面ABCD，O点在AC上，PO=2，M为PD中点．
（1）证明：AD⊥平面PAC；
（2）求三棱锥M-ACD的体积．

Answer 1

分析 （1）由PO⊥平面ABCD可得PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC可知△ACD是直角三角形，AC⊥AD．故AD⊥平面PAC；
（2）由M为中点可知M到底面的距离为$\frac{1}{2}$PO，把△ACD看做棱锥的底面，则棱锥的高为$\frac{1}{2}PO$，代入体积公式计算．

解答 证明：（1）∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC=45°，∴AD⊥AC．
∵PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PO⊥AD，又∵AC?平面PAC，PO?平面PAC，
∴AD⊥平面PAC．
（2）∵M是PD的中点，∴M到平面ABCD的距离d=$\frac{1}{2}$PO=1．
S_△ACD=$\frac{1}{2}AD×AC$=$\frac{1}{2}$．
∴三棱锥M-ACD的体积V=$\frac{1}{3}$S_△ACD•d=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．