Question

16．已知P为椭圆$\frac{x^2}{8}$+$\frac{y^2}{2}$=1上一个动点，A（-2，1），B（2，-1），设直线AP和BP分别与直线x=4交于M、N两点，若△ABP与△MNP的面积相等，则|OP|的值为$\frac{\sqrt{107}}{4}$．

Answer 1

分析 设P（m，n），N（4，t），M（4，s），设m，n＞0，代入椭圆方程，运用点到直线的距离，再由三点共线的条件：斜率相等，运用三角形的面积公式，化简整理，解方程可得m，n，再由两点的距离公式，计算即可得到所求值．

解答 解：设P（m，n），N（4，t），M（4，s），设m，n＞0，
即有$\frac{{m}^{2}}{8}$+$\frac{{n}^{2}}{2}$=1，①
直线AB的方程为y=-$\frac{1}{2}$x，
P到AB的距离为d=$\frac{|m+2n|}{\sqrt{5}}$，
△PAB的面积为S=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{5}$•$\frac{|m+2n|}{\sqrt{5}}$=|m+2n|，
由A，M，P共线，可得$\frac{s+1}{2}$=$\frac{n+1}{m-2}$，
即有s=$\frac{2n-m+4}{m-2}$，
由B，N，P共线，可得$\frac{t-1}{6}$=$\frac{n-1}{m+2}$，
即有t=$\frac{m+6n-4}{m+2}$，
即有|s-t|=|$\frac{（m+2n）（8-2m）}{{m}^{2}-4}$|，
则△PMN的面积为$\frac{1}{2}$（4-m）•|$\frac{（m+2n）（8-2m）}{{m}^{2}-4}$|，
由△ABP与△MNP的面积相等，
可得（4-m）²=m²-4，②
解得m=$\frac{5}{2}$，n²=$\frac{14}{32}$，
则|OP|=$\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{14}{32}}$=$\frac{\sqrt{107}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{107}}{4}$．

点评 本题考查椭圆的方程的运用，考查三点共线的条件：斜率相等，考查三角形的面积公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．