Question

15．记max{a，b}表示a，b中较大的数，则函数f（x）=x•max{-$\frac{lnx}{ln2}$，4x²}（x＞0）的递增区间为（　　）

• A． （0，e）
• B． （0，$\frac{1}{e}$）
• C． （0，$\frac{1}{e}$），（$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （0，$\frac{1}{2}$），（e，+∞）

Answer 1

分析 根据题意，画出函数y=-$\frac{lnx}{ln2}$与y=4x²（x＞0）的图象，结合图象得出函数y=-$\frac{lnx}{ln2}$与y=4x²（x＞0）的图象交于点（$\frac{1}{2}$，1）；由此得出函数f（x）的一个增区间是（$\frac{1}{2}$，+∞），再求出f（x）另一个增区间即可．

解答 解：根据题意，画出函数y=-$\frac{lnx}{ln2}$与y=4x²（x＞0）的图象如图所示；

函数y=-$\frac{lnx}{ln2}$是单调减函数，且交x轴与点（1，0），
y=4x²（x＞0）是增函数，且过原点；
则函数y=-$\frac{lnx}{ln2}$与y=4x²（x＞0）的图象交于点（$\frac{1}{2}$，1）；
∴当x＞$\frac{1}{2}$时，-$\frac{lnx}{ln2}$＜4x²（x＞0），
此时函数f（x）=x•max{-$\frac{lnx}{ln2}$，4x²}=4x³是增函数，
对应的区间（$\frac{1}{2}$，+∞）是增区间；
当x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，f（x）=x•max{-$\frac{lnx}{ln2}$，4x²}=-$\frac{xlnx}{ln2}$，
f′（x）=-$\frac{lnx+1}{ln2}$，
∴当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
$\frac{1}{e}$＜x＜$\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
综上，f（x）的单调增区间是（0，$\frac{1}{e}$）与（$\frac{1}{2}$，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查了新定义的函数的单调性判断问题，解题时应根据题意画出图象，结合图象解答问题，是综合题．