Question

20．在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2+$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα-1），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$a．
（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；
（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）令x=2+$\sqrt{2}$cosα，y=$\sqrt{2}$sinα-1，消去参数α，得到点A的轨迹方程，判断A的轨迹；
（2）将直线C的极坐标方程化为普通方程，根据公共点个数判断出直线与圆相切，列出方程解出a．

解答 解：（1）令x=2+$\sqrt{2}$cosα，y=$\sqrt{2}$sinα-1，则cosα=$\frac{x-2}{\sqrt{2}}$，sinα=$\frac{y+1}{\sqrt{2}}$，
∴$\frac{（x-2）^{2}}{2}$+$\frac{（y+1）^{2}}{2}$=1，即（x-2）²+（y+1）²=2．
∴A的轨迹是以（2，-1）为圆心，以$\sqrt{2}$为半径的圆．
（2）∵ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$a，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}ρcosθ$+$\frac{\sqrt{2}}{2}ρsinθ$=$\sqrt{2}a$，即ρcosθ+ρsinθ-2a=0．
∴直线C的普通方程为x+y-2a=0．
∵直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，
∴$\frac{|2-1-2a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，解得a=-$\frac{1}{2}$或a=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程，参数方程化普通方程，属于基础题．