Question

10．已知二次函数f（x）=$\frac{1}{2}$（a-1）x²+（b-4）x+1，其中a＞0，b＞0．
（1）当a=3，b=8时，求不等式f（x）≤0的解集；
（2）若函数f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上单调递减，求ab的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次不等式的解法解得即可；
（2）需要分类讨论，根据二次函数的性质和基本不等式即可求出ab的最大值．

解答 解：（1）当a=3，b=8时，f（x）=x²+4x+1，
∵f（x）≤0，
∴x²+4x+1≤0，
解得-2-$\sqrt{3}$≤x≤-2+$\sqrt{3}$，
∴不等式f（x）≤0的解集为（-2-$\sqrt{3}$，-2+$\sqrt{3}$），
（2）f（x）的对称轴为x=-$\frac{b-4}{a-1}$，函数f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上单调递减，
①当a＞1时，抛物线的开口向上，
由-$\frac{b-4}{a-1}$≥2，得2a+b≤6，
∵2a•b≤$（\frac{2a+b}{2}）^{2}$≤9，
∴ab≤$\frac{9}{2}$，
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{2a=b}\\{2a+b=6}\end{array}\right.$，即a=$\frac{3}{2}$，b=3时等号成立，
②当a＜1时，抛物线的开口向上，
由-$\frac{b-4}{a-1}$≤$\frac{1}{2}$，得a+2b≤9，
∵a•2b≤$（\frac{a+2b}{2}）^{2}$≤$\frac{81}{4}$，
∴ab≤$\frac{81}{8}$，
当且仅当a=$\frac{9}{2}$，b=$\frac{9}{4}$时等号成立，
∵a=$\frac{9}{2}$＞1，故应舍去，
由①②得ab的最大值为$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的性质以及基本不等式的应用，属于中档题．