Question

1．已知数列{a_n}满足：${a_1}=1，{a_{n+1}}=\frac{a_n}{{{a_n}+2}}（n∈N*）$，${C_n}=（1+\frac{1}{a_n}）（\frac{2}{n+1}-λ）$，若{C_n}是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（　　）

• A． λ$≥\frac{1}{3}$
• B． λ$＞\frac{1}{3}$
• C． λ$≥\frac{4}{3}$
• D． λ$＞\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 数列{a_n}满足：${a_1}=1，{a_{n+1}}=\frac{a_n}{{{a_n}+2}}（n∈N*）$，两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，变形为：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=2$（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，利用等比数列的通项公式可得$\frac{1}{{a}_{n}}$，代入${C_n}=（1+\frac{1}{a_n}）（\frac{2}{n+1}-λ）$=2ⁿ$（\frac{2}{n+1}-λ）$．由于{C_n}是单调递减数列，可得c_n+1＜c_n，化简整理，利用函数的单调性即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足：${a_1}=1，{a_{n+1}}=\frac{a_n}{{{a_n}+2}}（n∈N*）$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，
变形为：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=2$（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}+1\}$是等比数列，首项为2，公比为2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，
∴${C_n}=（1+\frac{1}{a_n}）（\frac{2}{n+1}-λ）$=2ⁿ$（\frac{2}{n+1}-λ）$，
∵{C_n}是单调递减数列，
∴c_n+1＜c_n，
∴2ⁿ⁺¹$（\frac{2}{n+2}-λ）$＜2ⁿ$（\frac{2}{n+1}-λ）$，
化为：λ＞$\frac{2n}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{2}{n+\frac{2}{n}+3}$，
令f（x）=x+$\frac{2}{x}$+3，（x∈[1，+∞））．
f′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2}{{x}^{2}}$，可知当x≥$\sqrt{2}$时，单调递增；
而f（1）=6，f（2）=6，
∴f（x）的最小值为6，
因此$\frac{2}{n+\frac{2}{n}+3}$的最大值为$\frac{1}{3}$，
∴$λ＞\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了递推关系、函数与数列的单调性、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．