Question

6．在棱长为a正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC₁和BD₁相交于点O，则有（　　）

• A． $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{{A_1}C}=2{a^2}$
• B． $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{2}{a^2}$
• C． $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{{A_1}O}=\frac{1}{2}{a^2}$
• D． $\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AO}={a^2}$

Answer 1

分析 以D为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为轴，建立空间坐标系，如图所示，分别根据向量的数量积的运算法则计算即可．

解答 解：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为a，令a=1，
以D为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为轴，建立空间坐标系，如图所示，
∴A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A₁（1，0，1），C₁（0，1，1），D₁（0，0，1），
∴O（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（0，1，0），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-1，1，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}O}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（-1，0，0），$\overline{AO}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=1，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=1，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{{A}_{1}O}$=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$，
∴只有C正确，
故选：C．

点评 本题考查了空间向量的计算问题，建立空间坐标系是关键，属于基础题．