Question

16．已知点F为抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，其到直线x=-$\frac{P}{2}$的距离为2．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若点P在第一象限，且横坐标为4，过点F作直线PF的垂线交直线x=-$\frac{P}{2}$于点Q，证明：直线PQ与抛物线C只有一个交点．

Answer 1

分析 （1）由题意，p=2，可得抛物线C的标准方程；
（2）求出直线PQ的方程与抛物线方程联立，即可证明结论．

解答 解：（1）由题意，p=2，
∴抛物线C的标准方程为y²=4x；
（2）由题意，P（4，4），F（1，0），∴k_PF=$\frac{4}{3}$，
∴k_QF=-$\frac{3}{4}$，
∴直线QF的方程为y=-$\frac{3}{4}$（x-1），
令x=-1，则y=$\frac{3}{2}$，
∴直线PQ的方程为y-4=$\frac{4-\frac{3}{2}}{4+1}$（x-4），即x=2y-4，
代入y²=4x，可得y²-8y+16=0，∴y=4，
∴直线PQ与抛物线C只有一个交点P．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，正确求出直线、抛物线方程是关键．