Question

4．已知$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，cos²x），$\overrightarrow{b}$=（sin2x，2），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求y=f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量的坐标的运算法则和二倍角公式以及角的和差公式化简得到f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），再根据正弦函数的图象和性质即可求出单调减区间．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数y=f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]单调递减，在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$）上单调递增，即可求出最值．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，cos²x），$\overrightarrow{b}$=（sin2x，2），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，
故函数y=f（x）的单调递减区间为[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当k=0时，∵f（$\frac{π}{6}$）=2，f（-$\frac{π}{6}$）=2sin（-$\frac{π}{6}$）=-1，f（$\frac{2π}{3}$）=2sin（π+$\frac{π}{2}$）=-2，
∴y=f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的最大值为2，最小值为-2．

点评 本题考查了向量的数量积运算以及三角函数的化简，以及正弦函数的图象和性质，属于基础题．