Question

13．已知数列{α_n}的前n项和为S_n，a₁=0，a₁+a₂+a₃+…+a_n+n=a_n+1，n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）设数列{b_n}的前n和为T_n，b₁=1，点（T_n+1，T_n）在直线$\frac{x}{n+1}$-$\frac{y}{n}$=$\frac{1}{2}$上，求$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}+1}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+1}$．

Answer 1

分析 （1）由a₁+a₂+a₃+…+a_n+n=a_n+1得2a_n+1=a_n+1，两边加1即可得出$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=2；
（2）将（T_n+1，T_n）代入直线$\frac{x}{n+1}$-$\frac{y}{n}$=$\frac{1}{2}$通分消去T_n+1，得到T_n，T_n-1，两式相减得到b_n和b_n+1的关系，推出{b_n}是等差数列，然后使用错位相减法求和．

解答 解：（1）∵a₁+a₂+a₃+…+a_n+n=a₁+1+a₂+1+a₃+1+…+a_n+1=2a_n+1=a_n+1，
∴2a_n+2=a_n+1+1，∴$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=2．∴数列{a_n+1}是等比数列．
（2）由（1）知a_n+1=2^n-1，∴a_n=2^n-1-1．
∵$\frac{{T}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{T}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{n{T}_{n+1}-（n+1）{T}_{n}}{n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{n{{b}_{n}}_{+1}-{T}_{n}}{n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$，即T_n=nb_n+1-$\frac{n（n+1）}{2}$，①∴T_n-1=（n-1）b_n-$\frac{（n-1）n}{2}$．②
①-②得b_n=nb_n+1-（n-1）b_n-n，整理得b_n+1-b_n=1．
∴{b_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴b_n=n．
设M=$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}+1}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+1}$，则M=$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{2}{{2}^{\;}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．③∴$\frac{M}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，④
③-④得$\frac{M}{2}$=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴M=4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了等差数列，等比数列的判断，通项公式，及数列求和，属于中档题．