Question

10．如图，三棱锥A-BCD中，AB=BD=CD=1，AD=BC=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{3}$．
（1）求证：CD⊥平面ABD；
（2）若M为AD中点，求三棱锥A-MBC的体积．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理的逆定理可证明CD⊥BD，CD⊥AD，故CD⊥平面ABD；
（2）把△ABM看做棱锥的底面，则CD为棱锥的高．

解答 证明：（1）∵AD=$\sqrt{2}$，CD=1，AC=$\sqrt{3}$，∴AD²+CD²=AC²，∴CD⊥AD．
∵BD=CD=1，BC=$\sqrt{2}$，∴BD²+CD²=BC²，∴CD⊥BD，
又∵AD?平面ABD，BD?平面ABD，AD∩BD=D，
∴CD⊥平面ABD．
（2）∵M是AD中点，S_△ABM=$\frac{1}{2}$S_△ABD=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×AB×BD$=$\frac{1}{4}$．
∴三棱锥A-MBC的体积V=$\frac{1}{3}$S_△ABM•CD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×1$=$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．