Question

5．直线y=kx-2交抛物线y²=8x于A、B两点，若AB中点横坐标为2，则|AB|为（　　）

• A． $\sqrt{15}$
• B． $2\sqrt{15}$
• C． $\sqrt{42}$
• D． $3\sqrt{15}$

Answer 1

分析 直线y=kx-2代入抛物线y²=8x，利用AB的中点的横坐标为2，结合韦达定理，求出k的值，即可求弦AB的长．

解答 解：直线y=kx-2代入抛物线y²=8x，整理可得k²x²-（4k+8）x+4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
∵AB的中点的横坐标为2，∴x₁+x₂=$\frac{4k+8}{{k}^{2}}$=4得k=-1或2，
当k=-1时，x²-4x+4=0有两个相等的实数根，不合题意，
当k=2时，|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{5}$•$\sqrt{（{{x}_{1}+{x}_{2}）}^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{15}$．
故选：B．

点评 本题考查弦长的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．