Question

9．已知幂函数f（x）=（k²+k-1）x^{（2-k）（1+k）}在（0，+∞）上单调递增．
（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在整数m，使函数g（x）=1-mf（x）+（2m-1）x，在区间[0，1]上的最大值为5，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由幂函数的定义和单调性，可得（2-k）（1+k）＞0，又k²+k-1=1，即可得到k的值和f（x）的解析式；
（2）求出g（x）的解析式，讨论m的符号，结合二次函数的对称轴和区间的关系，运用单调性，解方程可得m的值．

解答 解：（1）∵幂函数f（x）=（k²+k-1）x^{（2-k）（1+k）}在（0，+∞）上单调递增，
可得（2-k）（1+k）＞0，解得-1＜k＜2，
又k²+k-1=1，可得k=-2或1，
即有k=1，幂函数f（x）=x²；
（2）由（1）可知：g（x）=-mx²+（2m-1）x+1，
当m=0时，g（x）=1-x在[0，1]递减，
可得g（0）取得最大值，且为1，不成立；
当m＜0时，g（x）图象开口向上，最大值在g（0）或g（1）处取得，
而g（0）=1，则g（1）=5，即为m=5，不成立；
当m＞0，即-m＜0，g（x）=-m（x-$\frac{2m-1}{2m}$）²+$\frac{1+4{m}^{2}}{4m}$．
①当$\frac{2m-1}{2m}$≤0，m＞0时，解得0＜m≤$\frac{1}{2}$，
则g（x）在[0，1]上单调递减，因此在x=0处取得最大值，
而g（0）=1≠5不符合要求，应舍去；
②当$\frac{2m-1}{2m}$≥1，m＞0时，解得m不存在；
③当0＜$\frac{2m-1}{2m}$＜1，m＞0时，解得m＞$\frac{1}{2}$，
则g（x）在x=$\frac{2m-1}{2m}$处取得最小值，最大值在x=0或1处取得，
而g（0）=1不符合要求；
由g（1）=5，即m=5，满足m的范围．
综上可知：满足条件的m存在且m=5．

点评 本题考查幂函数的定义和单调性的运用，考查函数的最值的求法，熟练掌握幂函数和二次函数的单调性及分类讨论的思想方法是解题的关键．