Question

17．在△ABC中，∠BAD=30°，AB=4，AC=2，点D在BC上，且BC=2BD
（1）求BC的长；
（2）求tan（B+60°）的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得D为BC中点，延长AD至E使DE=AD，连接BE、CE，则四边形ABEC为平行四边形，可得BE=AC=2，由正弦定理可得∠AEB=90°，再由勾股定理和余弦定理可得；
（2）在△ABD中由余弦定理可得cosB，进而由同角三角函数基本关系可得tanB，由两角和的正切公式可得．

解答 解：（1）由题意可得D为BC中点，延长AD至E使DE=AD，
连接BE、CE，则四边形ABEC为平行四边形，BE=AC=2，
在△ABE中，由正弦定理可得sin∠AEB=$\frac{ABsin30°}{BE}$=1，
∴∠AEB=90°，由勾股定理可得AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴在△ABD中由余弦定理可得BD²=4²+（$\sqrt{3}$）²-2×4×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=7，
∴BC=BD=2$\sqrt{7}$；
（2）在△ABD中由余弦定理可得cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{D}^{2}-A{D}^{2}}{2•AB•BD}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，
由同角三角函数基本关系可得tanB=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
∴tan（B+60°）=$\frac{tanB+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}tanB}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查两角和与差的正切函数，涉及正余弦的应用，属中档题．