Question

7．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，x＜1}\\{4（x-a）（x-3a），x≥1}\end{array}\right.$若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{3}$，1）．

Answer 1

分析 易知2⁰-1=0，从而可得f（x）=4（x-a）（x-3a）=0有且只有一个解，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{3a＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3a≥1}\\{a＜1}\end{array}\right.$，从而解得．

解答 解：当x＜1时，f（x）=2^x-1=0，
解得，x=0；
故当x≥1时，f（x）=4（x-a）（x-3a）=0有且只有一个解，
故$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{3a＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3a≥1}\\{a＜1}\end{array}\right.$，
解得，$\frac{1}{3}$≤a＜1；
故答案为：[$\frac{1}{3}$，1）．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及方程的根与函数的零点的关系应用．