Question

6．直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，且一直角边的方程是y=2x，斜边长是5，求此抛物线的方程．

Answer 1

分析 将直线方程与抛物线方程联立，求得交点坐标，再利用斜边长为5，即可求得抛物线的方程．

解答 解：因为一直角边的方程是y=2x，所以另一直角边的方程是y=-$\frac{1}{2}$x．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{p}{2}}\\{y=p}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去）；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=8p}\\{y=-4p}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去），
∴三角形的另两个顶点为（$\frac{p}{2}$，p）和（8p，-4p）．
∴$\sqrt{（\frac{p}{2}-8p）^{2}+（p+4p）^{2}}$=5解得p=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，
故所求抛物线的方程为²=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$x．

点评 本题考查抛物线的标准方程，解题的关键是将直线方程与抛物线方程联立，求得交点坐标，属于中档题．