Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax，a∈R
（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单凋性；
（2）设函数g（x）=$\frac{1}{3}$x³+（a-1）x-alnx，问：在定义域内是否存在三个不同的自变量x_i（i=1，2，3），使得f（x_i）-g（x_i）的值相等？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求导，再分类讨论求出f（x）的单调区间；
（2）若定义域内存在三个不同的自变量的取值x_i（i=1，2，3），使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等，设f（x_i）-g（x_i）=m．（i=1，2，3），则对于某一实数m，方程f（x）-g（x）=m在（0，+∞）上有三个不等的实数，由此能求出在定义域内不存在三个不同的自变量的取值x_i（i=1，2，3）使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax，
∴f′（x）=x²-2x+a，
当△=4-4a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上的单调递增，
当△=4-4a＞0时，即a＜1时，
令f′（x）=0，解得x=1-$\sqrt{1-a}$或x=1+$\sqrt{1-a}$，
当1-$\sqrt{1-a}$≤0时，即a≤0时，f（x）在（0，1+$\sqrt{1-a}$）上单调递减，在（1+$\sqrt{1-a}$，+∞）上单调递增，
当1-$\sqrt{1-a}$＞0时，即0＜a＜1时，f（x）在（1-$\sqrt{1-a}$，1+$\sqrt{1-a}$）上单调递减，在（0，1-$\sqrt{1-a}$），（1+$\sqrt{1-a}$，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）若存在，设f（x_i）-g（x_i）=m（i=1，2，3），
则对于某一实数m方程f（x）-g（x）-m=0在（0，+∞）上有三个不等的实根，
设F（x）=f（x）-g（x）-m=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-$\frac{1}{3}$x³-（a-1）x+alnx-m=-x²+x+alnx+m，
则函数F（x）=f（x）+g（x）-m的图象与x轴有三个不同交点，
即F′（x）=-2x+1+$\frac{a}{x}$=$\frac{-2{x}^{2}+x+a}{x}$在（0，+∞）有两个不同的零点，
令h（x）=-2x²+x+a=0有两个不相等的正实数根，设两个根为x₁，x₂，
∴△=1+4×2a＞0，且x₁•x₂=-$\frac{a}{2}$＞0，
解得-$\frac{1}{8}$＜a＜0，
∴a的取值范围为（-$\frac{1}{8}$，0）．

点评 本题考查函数的单调区间的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．综合性强，难度大，具有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．