Question

14．如图，四边形ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD∥BE，AD=PD=2BE=2，∠DAB=60°，点F为PA的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PAD；
（Ⅲ）求三棱锥P-ADE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD中点G，连接FG，BG，则可证四边形BGFE为平行四边形．故EF∥BG，从而EF∥平面ABCD；
（II）由△ABD是等边三角形可得BG⊥AD，由PD⊥平面ABCD可得BG⊥PD，故BG⊥平面PAD，由EF∥BG可证EF⊥平面PAD，从而平面PAE⊥平面PAD；
（III）V_棱锥P-ADE=V_棱锥E-ADP=$\frac{1}{3}$S_△PAD•EF．

解答 解：（Ⅰ）取AD中点G，连接FG，BG，∵点F为PA的中点，
∴FG∥PD且$FG=\frac{1}{2}PD$．
∵BE∥PD，且$BE=\frac{1}{2}PD$，
∴BE∥FG，BE=FG，
∴四边形BGFE为平行四边形．
∴EF∥BG，又∵EF?平面ABCD，BG?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
（Ⅱ）连接BD．
∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形．
∵G为AD中点，∴BG⊥AD，
∵PD⊥平面ABCD，BG?平面ABCD，
∴PD⊥BG，又∵PD∩AD=D，AD?平面PAD，PD?平面PAD，
∴BG⊥平面PAD．
∵四边形BGFE为平行四边形，∴EF∥BG，
∴EF⊥平面PAD，又∵EF?平面PAE，
∴平面PAE⊥平面PAD．
（Ⅲ）∵△ABD为等边三角形，AD=2，∴BG=$\sqrt{3}$．
∵${S_{△PAD}}=\frac{1}{2}PD•AD=2$．$EF=BG=\sqrt{3}$，∴V_棱锥P-ADE=V_棱锥E-ADP=$\frac{1}{3}$S_△PAD•EF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，是中档题．