Question

9．已知函数f（x）满足f（$\frac{x}{2}$）=x+$\frac{1}{x}$．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数f（x）在区间（$\frac{1}{2}$，+∞）上的单调性，并用定义法加以证明．

Answer 1

分析 （1）利用换元法进行求解即可．
（2）利用函数单调性的定义进行证明即可．

解答 解：（1）设t=$\frac{x}{2}$，则x=2t，
即f（t）=2t+$\frac{1}{2t}$，
即f（x）=2（x+$\frac{1}{x}$），x≠0．
（2）函数在（$\frac{1}{2}$，1）上为减函数，则（1，+∞）为增函数，
对任意的1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=2（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=2（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₁x₂＞1，则x₁x₂-1＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数在区间（1，+∞）上是单调递增函数．
同理函数在（$\frac{1}{2}$，1）上为减函数．

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及函数单调性的证明，利用定义法和换元法是解决本题的关键．