Question

14．若关于x的方程ax²-1=lnx有两解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可得a=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$有两个不等的实根．求出f（x）=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$的导数和单调区间，最大值，画出图象，通过图象即可得到两个交点的情况，求得a的范围．

解答 解：由ax²-1=lnx，可得a=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$，x＞0．
由题意可得方程a=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$有两个不等的实根．
f（x）=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$的导数为f′（x）=$\frac{-1-2lnx}{{x}^{3}}$，
当x＞$\frac{1}{\sqrt{e}}$时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当0＜x＜$\frac{1}{\sqrt{e}}$时，f′（x）＞0，f（x）递增．
即有x=$\frac{1}{\sqrt{e}}$处f（x）取得最大值$\frac{e}{2}$．
画出函数f（x）=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$的图象，
由图象可得当0＜a＜$\frac{e}{2}$时，
直线y=a和函数y=f（x）的图象有两个交点．
则实数a的范围是（0，$\frac{e}{2}$）．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要考查函数的零点的判断，注意运用函数方程的转化思想和数形结合的思想方法，属于中档题．