Question

16．已知$f（x）=\frac{ax+2}{{{x^2}+1}}$为R上的偶函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，并利用定义证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）为R上的偶函数便可得到f（-1）=f（1），这样即可得出a=0；
（Ⅱ）可看出$f（x）=\frac{2}{{x}^{2}+2}$在[0，+∞）上单调递减，根据减函数的定义：设任意的x₂＞x₁≥0，然后作差，通分，证明f（x₂）＜f（x₁）便可得出f（x）在[0，+∞）上单调递减．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）为R上的偶函数；
∴f（-1）=f（1）；
∴$\frac{-a+2}{1+1}=\frac{a+2}{1+1}$；
∴a=0；
（Ⅱ）函数$f（x）=\frac{2}{{{x^2}+1}}$在[0，+∞）上单调递减；
证明：设x₂＞x₁≥0，则：
$f（{x_2}）-f（{x_1}）=\frac{2}{x_2^2+1}-\frac{2}{x_1^2+1}$
=$\frac{2（x_1^2-x_2^2）}{（x_2^2+1）（x_1^2+1）}$
=$\frac{{2（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）}}{（x_2^2+1）（x_1^2+1）}$；
∵x₂＞x₁≥0；
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞0，$x_1^2+1＞0$，$x_2^2+1＞0$；
∴$\frac{{2（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）}}{（x_2^2+1）（x_1^2+1）}＜0$；
即f（x₂）-f（x₁）＜0；
∴f（x₂）＜f（x₁）；
∴函数f（x）在[0，+∞）上是单调递减函数．

点评 考查偶函数的定义，减函数的定义，以及根据减函数的定义判断和证明一个函数为减函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，以及平方差公式．