Question

6．设数列{a_n}是公差为d的等差数列．
（Ⅰ）推导{a_n}的前n项和S_n公式；
（Ⅱ）证明数列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$是等差数列．

Answer 1

分析 （I）由等差数列的性质，利用“倒序相加”即可得出；
（II）$\frac{S_n}{n}=\frac{{{a_1}+{a_n}}}{2}$，利用递推关系、等差数列的定义即可证明．

解答 （Ⅰ）解：S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_nS_n=a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）+…+[a₁+（n-1）d]①，
S_n=a_n+（a_n-d）+（a_n-2d）+…+[a_n-（n-1）d]②
①+②得$2{S_n}=\overbrace{（{{a_1}+{a_n}}）+（{{a_1}+{a_n}}）+…+（{{a_1}+{a_n}}）}^{n个}=n（{{a_1}+{a_n}}）$，
∴${S_n}=\frac{{n（{{a_1}+{a_n}}）}}{2}$．
（II）证明：∵$\frac{S_n}{n}=\frac{{{a_1}+{a_n}}}{2}$，
当n=1时，$\frac{S_1}{1}=\frac{{{a_1}+{a_1}}}{2}={a_1}$，
当n≥2时，$\frac{S_n}{n}-\frac{{{S_{n-1}}}}{n-1}=\frac{{{a_1}+{a_n}}}{2}-\frac{{{a_1}+{a_{n-1}}}}{2}=\frac{{{a_n}-{a_{n-1}}}}{2}=\frac{d}{2}$，
∴数列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$是以a₁为首项，$\frac{d}{2}$为公差的等差数列．

点评 本题考查了等差数列的性质、“倒序相加”、递推关系、等差数列的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．