Question

20．等比数列{a_n}满足a₆=a₂•a₄，且a₂为2a₁与$\frac{1}{2}{a_3}$的等差中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}=\frac{a_n}{{（{{a_n}-1}）（{{a_{n+1}}-1}）}}$，T_n为{b_n}的前n项和，求使${T_n}＞\frac{2015}{2016}$成立时n的最小值．

Answer 1

分析 （I）通过设数列{a_n}的公比为q，利用a₆=a₂•a₄化简可知a₁=q，利用a₂为2a₁与$\frac{1}{2}{a_3}$的等差中项可知q=2，进而可得结论；
（Ⅱ）通过（I）裂项可知b_n=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，进而并项相加可知T_n=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，问题转化为1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＞1-$\frac{1}{2016}$，比较即得结论．

解答 解：（I）设数列{a_n}的公比为q，
由a₆=a₂•a₄可知a₁a⁵=a₁q•a₁qq³，解得：a₁=q，
又∵a₂为2a₁与$\frac{1}{2}{a_3}$的等差中项，
∴2a₁+$\frac{1}{2}$a₃=2a₂，解得q=2，
∴数列{a_n}是首项、公比均为2的等比数列，
故其通项公式a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）由（I）可知${b_n}=\frac{a_n}{{（{{a_n}-1}）（{{a_{n+1}}-1}）}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴T_n=$\frac{1}{2-1}$-$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
要使${T_n}＞\frac{2015}{2016}$，即1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＞1-$\frac{1}{2016}$，
∴2ⁿ⁺¹＞2017，n+1≥11，
∴n的最小值为10．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．