Question

7．若函数f（x）=1+$\frac{a}{{a}^{x}-1}$是奇函数，则a的值是（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 函数f（x）=1+$\frac{a}{{a}^{x}-1}$是奇函数，可得f（-x）+f（x）=0，（x≠0）．化简整理即可得出．

解答 解：∵函数f（x）=1+$\frac{a}{{a}^{x}-1}$是奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，（x≠0）．
∴1+$\frac{a}{{a}^{-x}-1}$+1+$\frac{a}{{a}^{x}-1}$=0，
化为：2+$\frac{{a}^{x+1}}{1-{a}^{x}}$+$\frac{a}{{a}^{x}-1}$=0，
∴2（1-a^x）+a^x+1-a=0，
∴（2-a）（1-a^x）=0，对定义域内的x都成立．
解得a=2．
故选：D．

点评 本题考查了函数的奇偶性、指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．