Question

2．数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）试求a₂，a₃的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；
（2）n=1时，T₁=1．当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$2（\frac{2}{3}）^{n-2}$，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，S_n=2a_n+1（n∈N^*），
∴当n=1时，1=a₁=2a₂，解得a₂=$\frac{1}{2}$；
当n=2时，a₁+a₂=2a₃，即1+$\frac{1}{2}$=2a₃，解得a₃=$\frac{3}{4}$．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+1-2a_n，化为a_n+1=$\frac{3}{2}{a}_{n}$．
∴当n≥2时，数列{a_n}是等比数列，公比为$\frac{3}{2}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{n-2}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{2}（\frac{3}{2}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）n=1时，T₁=1．
当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$2（\frac{2}{3}）^{n-2}$，
∴T_n=1+2×$\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n-1}}{1-\frac{2}{3}}$=7-$6×（\frac{2}{3}）^{n-1}$．n=1时也成立．
∴T_n=7-$6×（\frac{2}{3}）^{n-1}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．