Question

12．已知四面体P-ABC中，PA=PB=4，PC=2，AC=2$\sqrt{5}$，PB⊥平面PAC，则四面体P-ABC外接球的表面积为36π．

Answer 1

分析 由题意算出PA²+PC²=AC²，结合勾股定理的逆定理得AP⊥PC．由PB⊥平面PAC证出PB⊥PA，PA⊥PC，可得PA、PB、PC两两互相垂直．因此以PA、PB、PC为长、宽、高作长方体，该长方体的外接球就是四面体P-ABC的外接球，根据长方体对角线公式算出外接球的直径，从而可得所求外接球的表面积．

解答 解：∵PA=4，PC=2，AC=2$\sqrt{5}$，
∴Rt△PAC中，PA²+PC²=20=AC²，可得AP⊥PC
又∵PB⊥平面PAC，PA、PC?平面PAC
∴PB⊥PA，PA⊥PC
以PA、PB、PC为长、宽、高，作长方体如图所示
则该长方体的外接球就是四面体P-ABC的外接球
∵长方体的对角线长为$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}+{2}^{2}}$=6
∴长方体外接球的直径2R=6，得R=3
因此，四面体P-ABC的外接球体积为V=4π•3²=36π
故答案为：36π．

点评 本题给出三棱锥P-ABC满足的条件，求它的外接球表面积．着重考查了勾股定理、长方体的对角线公式和球的表面积计算等知识，属于中档题．