Question

7．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≥0}\\{x+y-6≤0}\\{x-3y-2≤0}\end{array}\right.$，若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则$\frac{y}{x-a}$的最大值是$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，得到满足题意的a值，再由$\frac{y}{x-a}$的几何意义求得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≥0}\\{x+y-6≤0}\\{x-3y-2≤0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

化目标函数z=x+ay为$y=-\frac{1}{a}x+\frac{z}{a}$，
若a＞0，不满足题意；
∴a＜0，要使目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，
则$-\frac{1}{a}=1$，a=-1．
$\frac{y}{x-a}$的几何意义为可行域内的动点与定点P（-1，0）连线的斜率，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x-3y-2=0}\end{array}\right.$，解得A（4，2），
∴$\frac{y}{x-a}$的最大值为${k}_{PA}=\frac{2-0}{4-（-1）}=\frac{2}{5}$．
故答案为：$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查数学转化思想方法，是中档题．