Question

18．已知函数f（x）=bx+c（b，c∈R）的图象过点（0，1），且满足f（1）=2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y=2^f（x）-1在[m，2m]（m＞0）上的最大与最小值之和为6，求实数m的值；
（Ⅲ）若实数t为函数g（x）=（a-1）x-1+log_af（x）（0＜a＜2且a≠1）的一个零点，求证：函数M（x）=x²+1的图象恒在函数N（x）=2tx图象的上方．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得c=1，b+c=2，可得b，c，进而得到所求解析式；
（Ⅱ）求得2^f（x）-1=2^x，又y=2^x在[m，2m]（m＞0）单调递增，可得最值，解方程可得m；
（Ⅲ）求得g（x）=（a-1）x-1+log_a（x+1），x＞-1，讨论1＜a＜2，0＜a＜1，由函数的单调性，结合函数的零点存在定理，即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）依题意得：$\left\{\begin{array}{l}0+c=1\\ b+c=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}b=1\\ c=1\end{array}\right.$，
∴f（x）=x+1；
（Ⅱ）∵2^f（x）-1=2^x，
又y=2^x在[m，2m]（m＞0）单调递增，
∴${y_{max}}={2^{2m}}$，${y_{min}}={2^m}$，
∴2^2m+2^m=6，
∴（2^m-2）（2^m+3）=0，
∴2^m-2=0，
∴m=1；
（Ⅲ）证明：∵g（x）=（a-1）x-1+log_a（x+1），x＞-1，
（i）当1＜a＜2时，y=（a-1）x-1在（-1，+∞）上单调递增，
由y=x+1在（-1，+∞）上单调递增，得y=log_a（x+1）在（-1，+∞）上单调递增，
∴g（x）=（a-1）x-1+log_a（x+1）在（-1，+∞）上单调递增，
又g（1）=a-2+log_a2＞a-2+log_aa=a-1＞0，
g（0）=-1＜0，
∴g（x）在（0，1）上存在唯一零点，
∴当1＜a＜2时，0＜t＜1；
（ⅱ） 当0＜a＜1时，y=（a-1）x-1在（-1，+∞）上单调递减，
由y=x+1在（-1，+∞）上单调递增，得y=log_a（x+1）在（-1，+∞）上单调递减，
∴g（x）=（a-1）x-1+log_a（x+1）在（-1，+∞）上单调递减，
又∵g（0）=-1＜0，$g（a-1）={（a-1）^2}-1+{log_a}a={（a-1）^2}＞0$
∴g（x）在（a-1，0）上存在唯一零点，
∴当0＜a＜1时，-1＜t＜0．
综上得，t²＜1且t≠0，
∴M（x）-N（x）=x²+1-2tx=（x-t）²+1-t²≥1-t²＞0，
即对于任意x∈R，都有M（x）＞N（x），
∴函数M（x）=x²+1的图象恒在N（x）=2tx的图象上方．

点评 本题考查一次函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查指数函数的单调性的运用，同时考查函数恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．