Question

10．抛物线${x^2}=\frac{1}{4}y$上的点到直线y=4x-5的距离的最小值是$\frac{{4\sqrt{17}}}{17}$．

Answer 1

分析 设出P的坐标，进而根据点到直线的距离公式求得P到直线的距离的表达式，根据x的范围求得距离的最小值．

解答 解：设P（x，y）为抛物线${x^2}=\frac{1}{4}y$上任一点，
则P到直线4x-y-5=0的距离d=$\frac{|4x-y-5|}{\sqrt{17}}$=$\frac{|4（x-\frac{1}{2}）^{2}+4|}{\sqrt{17}}$，
∴x=$\frac{1}{2}$时，d取最小值$\frac{{4\sqrt{17}}}{17}$．
故答案为：$\frac{{4\sqrt{17}}}{17}$．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质，点到直线的距离公式．考查了学生数形结合的数学思想和基本的运算能力．