Question

13．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），把曲线C上所有点的横坐标不变，纵坐标压缩为原来的一半得到曲线G，以平面直角坐标系的原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ-2sinθ）=4．
（1）求曲线G与直线l的平面直角坐标方程；
（2）P是曲线G上的一个动点，求点P到直线l的最大距离．

Answer 1

分析 （I）利用cos²φ+sin²φ=1，即可化为普通方程，再利用坐标变换即可得出；
（2）设点Q（2cosθ，sinθ）为曲线G上的任意一点，则点Q到直线l的距离d=$\frac{|2cosθ-2sinθ-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2\sqrt{2}cos（θ+φ）-4|}{\sqrt{5}}$，利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ参数），化为x²+y²=4，
设M（x，y）为曲线4G上的点，点M′（x′，y′）为曲线x²+y²=4上的点，
则（x′）²+（y′）²=4，$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=\frac{1}{2}{y}^{′}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=x}\\{{y}^{′}=2y}\end{array}\right.$，
代入可得：x²+4y²=4，化为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，即为曲线G的方程．
直线l的极坐标方程为ρ（cosθ-2sinθ）=4，化为直角坐标方程：x-2y=4．
（2）设点Q（2cosθ，sinθ）为曲线G上的任意一点，
则点Q到直线l的距离d=$\frac{|2cosθ-2sinθ-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2\sqrt{2}cos（θ+φ）-4|}{\sqrt{5}}$≤$\frac{2\sqrt{2}+4}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{10}+4\sqrt{5}}{5}$，其最大值为：$\frac{2\sqrt{10}+4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与椭圆相切交问题、坐标变换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．