Question

19．已知椭圆C$：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，点$（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$在椭圆C上．直线l过点（1，1），且与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点O为坐标原点，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，可得$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}+{b}^{2}=c^2}\end{array}\right.$，解得a²与b²的值，代入椭圆的标准方程即可得答案；
（Ⅱ）根据题意，分2种情况讨论，（1）当直线l与x轴垂直时，分析可得直线l的方程为x=1满足题意；（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l为y=kx+m，分析A、B、M的坐标，将y=kx+m代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，由根与系数的关系可得M的坐标，进而由四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分可得P的坐标，代入椭圆的标准方程可得$\frac{{{{（-\frac{8km}{{4{k^2}+1}}）}^2}}}{4}+{（\frac{2m}{{4{k^2}+1}}）^2}=1$，进而分析可得$\frac{{（16{k^2}+4）{{（1-k）}^2}}}{{{{（4{k^2}+1）}^2}}}=1$，解可得k、m的值，即可得答案．

解答 解：（I）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}+{b}^{2}=c^2}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=1．
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…..（5分）
（Ⅱ）四边形OAPB能为平行四边形，分2种情况讨论：
（1）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1满足题意；
（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l：y=kx+m，显然k≠0，m≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_M，y_M）．
将y=kx+m代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，$△={（8km）^2}-4（4{k^2}+1）（4{m^2}-4）＞0，{x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{4{k^2}+1}}$．
故${x_M}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{4km}{{4{k^2}+1}}$，${y_M}=k{x_M}+m=\frac{m}{{4{k^2}+1}}$．
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即$\left\{\begin{array}{l}{x_P}=2{x_M}\\{y_P}=2{y_M}.\end{array}\right.$．
则$\frac{{{{（-\frac{8km}{{4{k^2}+1}}）}^2}}}{4}+{（\frac{2m}{{4{k^2}+1}}）^2}=1$．
由直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），过点（1，1），得m=1-k．
则$\frac{{（16{k^2}+4）{{（1-k）}^2}}}{{{{（4{k^2}+1）}^2}}}=1$，
则（4k²+1）（8k-3）=0．
则$k=\frac{3}{8}，m=\frac{5}{8}$．满足△＞0．
所以直线l的方程为$y=\frac{3}{8}x+\frac{5}{8}$时，四边形OAPB为平行四边形．
综上所述：直线l的方程为$y=\frac{3}{8}x+\frac{5}{8}$或x=1．…..（13分）

点评 本题考查椭圆与直线的位置关系与方程的综合运用，涉及直线与椭圆的位置关系时，需要考虑直线斜率不存在的情况．