Question

9．如图1，正方形ABCD的边长为$2\sqrt{2}$，E、F分别是DC和BC的中点，H是正方形的对角线AC与EF的交点，N是正方形两对角线的交点，现沿EF将△CEF折起到△PEF的位置，使得PH⊥AH，连结PA，PB，PD（如图2）．
（Ⅰ）求证：BD⊥AP；
（Ⅱ）求三棱锥A-BDP的高．

Answer 1

分析 （1）由PH⊥AH，PH⊥EF可得PH⊥平面ABCD，故PH⊥BD，又AC⊥BD，得出BD⊥平面PAH，得出BD$⊥AP\$；
（2）分别把△ABD和△BDP当做底面求出棱锥的体积，列出方程解出．

解答 （Ⅰ）证明：∵E、F分别是CD和BC的中点，∴EF∥BD．
又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，故折起后有PH⊥EF．
又∵PH⊥AH，∴PH⊥平面ABFED．                          
又∵BD?平面ABFED，∴PH⊥BD，
∵AH∩PH=H，AH，PH?平面APH，
∴BD⊥平面APH，又∵AP?平面APH，∴BD⊥AP
（Ⅱ）解：∵正方形ABCD的边长为$2\sqrt{2}$，
∴AC=BD=4，AN=2，NH=PH=1，PE=PF
∴△PBD是等腰三角形，连结PN，则PN⊥BD，$PN=\sqrt{N{H^2}+P{H^2}}=\sqrt{2}$
∴△PBD的面积${S_{△PBD}}=\frac{1}{2}BD•PN=\frac{1}{2}×4×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
设三棱锥A-BDP的高为h，则三棱锥A-BDP的体积为${V_{A-BDP}}=\frac{1}{3}{S_{△PBD}}•h=\frac{{2\sqrt{2}h}}{3}$
由（Ⅰ）可知PH是三棱锥P-ABD的高，∴三棱锥P-ABD的体积：${V_{P-ABD}}=\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•PH=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AB•AD•PH=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}×1=\frac{4}{3}$
∵V_A-BDP=V_P-ABD，即$\frac{{2\sqrt{2}h}}{3}=\frac{4}{3}$，解得$h=\sqrt{2}$，即三棱锥A-BDP的高为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，选择恰当的底面和高是计算体积的关键．