Question

5．已知椭圆E：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F₁，F₂，点D在椭圆上，DF₂⊥F₁F₂，△F₁F₂D的面积为2$\sqrt{2}$，离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，抛物线C：x²=2py（p＞0）的准线l经过D点．
（Ⅰ）求椭圆E与抛物线C的方程；
（Ⅱ）过直线l上的动点P作抛物线的两条切线，切点为A，B，直线AB交椭圆于M，N两点，当坐标原点O落在以MN为直径的圆外时，求点P的横坐标t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得焦点的坐标，及|DF₂|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，运用三角形的面积公式和离心率公式，可得a，b，进而得到椭圆的方程；求得抛物线的准线方程，可得抛物线的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），求得函数的导数，求出切线PA，PB的方程，进而得到直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由向量的数量积的坐标表示和点在圆外，可得数量积大于0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得F₁（0，c），F₂（0，-c），
c²=a²-b²，DF₂⊥F₁F₂，令x=c，可得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
可得|DF₂|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
△F₁F₂D的面积为S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|DF₂|=$\frac{1}{2}$•2c•$\frac{{b}^{2}}{a}$=2$\sqrt{2}$，①
将e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$代入①解得b=2，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²=1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，可得a=2$\sqrt{2}$，c=2，
即有椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
由D的纵坐标为-2，抛物线的准线方程为y=-2，
即有抛物线C的方程为x²=8y；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
由y=$\frac{1}{8}$x²，可得y′=$\frac{1}{4}$x，
PA：y-y₁=$\frac{1}{4}$x₁（x-x₁），将P（t，-2）代入可得-2-y₁=$\frac{1}{4}$x₁（t-x₁），
以及y₁=$\frac{1}{8}$x₁²，可得y₁=$\frac{1}{4}$tx₁+2，
同理可得y₂=$\frac{1}{4}$tx₂+2，
即有直线AB的方程为y=$\frac{1}{4}$tx+2，
将直线AB的方程代入椭圆方程，可得（32+t²）x²+16tx-64=0，
判别式为△=256t²+256（32+t²）＞0，
x₃+x₄=-$\frac{16t}{{t}^{2}+32}$，x₃x₄=$\frac{-64}{32+{t}^{2}}$，
即有$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₃x₄+y₃y₄=（1+$\frac{{t}^{2}}{16}$）x₃x₄+$\frac{t}{2}$（x₃+x₄）+4
=$\frac{64-8{t}^{2}}{32+{t}^{2}}$=$\frac{320}{32+{t}^{2}}$-8，
由点O在圆外，可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$＞0，
即为$\frac{320}{32+{t}^{2}}$-8＞0，解得-2$\sqrt{2}$＜t＜2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆和抛物线的方程的求法，注意运用离心率公式和准线方程的运用，考查直线和抛物线相切的条件，直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示和点圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．