Question

7．已知点P是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）右支上一点，以P为圆心能作一圆恰好过双曲线的左顶点A和右焦点F，则该双曲线的离心率e的取值范围为（　　）

• A． （1，2]
• B． （1，3]
• C． [2，+∞）
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 由题意求出A（-a，0）、F（c，0），由圆的性质求出圆心P的横坐标，代入双曲线方程求出纵坐标的平方，根据两点之间的距离公式和|AF|≤2|PA|，列出不等式化简后求出离心率e的取值范围．

解答 解：由题意得，A（-a，0），F（c，0），
因为AF是圆P的弦，所以圆心P的横坐标：x=$\frac{-a+c}{2}$，
代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$得，${y}^{2}=\frac{{b}^{2}（c+a）（c-3a）}{4{a}^{2}}$，
由|AF|≤2|PA|得，a+c≤2$\sqrt{{（\frac{-a+c}{2}+a）}^{2}+{y}^{2}}$，
则（a+c）²≤4[$（\frac{a+c}{2}）^{2}+\frac{{b}^{2}（c+a）（c-3a）}{4{a}^{2}}$]，
化简得$\frac{{b}^{2}（c+a）（c-3a）}{4{a}^{2}}$≥0，即c-3a≥0，
即e=$\frac{c}{a}$≥3，所以离心率e的取值范围为[3，+∞），
故选：D．

点评 本题考查求双曲线离心率、标准方程与简单几何性质，以及圆的有关性质的应用，考查了化简、变形能力．