Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F（c，0），P（x₀，y₀）为椭圆上一点且PA⊥PF．
（1）若a=3，b=$\sqrt{5}$，求△AFP的面积；
（2）求证：以F为圆心，FP为半径的圆与直线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$相切．

Answer 1

分析 （1）a=3，b=$\sqrt{5}$，可得c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$．可得椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．于是$\frac{{x}_{0}^{2}}{9}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{5}$=1，由于PA⊥PF，可得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PF}$=0，化为：（x₀+3）（x₀-2）+${y}_{0}^{2}$=0，联立解出，利用△AFP的面积S=$\frac{1}{2}{y}_{0}$（a+c）即可得出．
（2）依题意，椭圆右焦点到直线x=

a2

c

的距离为

a2

c

-c，且

x02

a2

+

y02

b2

=1，由PA⊥PF得，即y02=-x02+（c-a）x0+ca，可得x0=-

a（a2-ac-c2）

c2

．可得PF=

（x0-c）2+y02

，代入化简即可得出．

解答 （1）解：∵a=3，b=$\sqrt{5}$，∴c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=2．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{9}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{5}$=1，
∵PA⊥PF，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PF}$=0，
化为：（x₀+3）（x₀-2）+${y}_{0}^{2}$=0，
联立解得：y₀=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．
∴△AFP的面积S=$\frac{1}{2}{y}_{0}$（a+c）=$\frac{1}{2}×\frac{5\sqrt{3}}{4}$×5=$\frac{25\sqrt{3}}{8}$．（2）
（2）证明：依题意，椭圆右焦点到直线x=

a2

c

的距离为

a2

c

-c，且

x02

a2

+

y02

b2

=1，①
由PA⊥PF得，

y0

x0+a

•

yo

x0-c

=-1，即y02=-x02+（c-a）x0+ca，②
由①②得，（x0+a）[x0+

a（b2-ac）

c2

]=0，
解得x0=-

a（a2-ac-c2）

c2

或x₀=-a（舍去）．
所以PF=

（x0-c）2+y02

=

（x0-c）2-x02+（c-a）x0+ca

=|a-

c

a

x0|
=a+

c

a

•

a（a2-ac-c2）

c2

=

a2

c

-c，
所以以F为圆心，FP为半径的圆与右准线x=

a2

c

相切．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量垂直与数量积的关系、勾股定理、两点之间的距离公式、直线与圆相切的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．