Question

13．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形ABCD，侧棱PA垂直于底面，且PA=3．
（1）求异面直线PB与CD所成的角的大小；（结果用反三角函数表示）
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）由AB∥CD可知∠PBA是异面直线PB与CD所成的角，且PA⊥AB，得出tan∠PBA=$\frac{PA}{AB}$=$\frac{3}{4}$．
（2）由PA⊥底面ABCD可知PA为棱锥的高，代入体积公式即可求出棱锥的体积．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠PBA是异面直线PB与CD所成的角，
∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB，
∴tan∠PBA=$\frac{PA}{AB}$=$\frac{3}{4}$．∴∠PBA=arctan$\frac{3}{4}$．
（2）V_棱锥P-ABCD=$\frac{1}{3}$S_{正方形ABCD}•PA=$\frac{1}{3}×{4}^{2}×3$=16．

点评 本题考查了空间角的计算，空间几何体的体积计算，正确作出空间角是解题关键．