Question

9．已知t＜0，设函数f（x）=x³+$\frac{3（t-1）}{2}$x²-3tx．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）≤xe^x-m（e为自然对数的底数）对任意x∈[0，+∞）恒成立时，m的最大值为0，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，分类讨论判断单调性；
（Ⅱ）由题意转化条件为m≤x[e^x-x²-$\frac{3（t-1）}{2}$x+3t]对任意的x≥0恒成立，构造函数g（x）=e^x-x²-$\frac{3（t-1）}{2}$x+3t，通过函数的导数，求出新函数的最小值，然后求解t的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x³+$\frac{3（t-1）}{2}$x²-3tx．
得f′（x）=3x²+3（t-1）x-3t=3（x-1）（x+t），t＜0．
令f′（x）=0，得x=1，-t；
①当t＞-1时，可以判定f（x）在区间（-∞，-t），（1，+∞）内递增，在区间（-t，1）内递减，
②当t=-1时，可以判定f（x）在R上递增；
③当t＜-1时，可以判定f（x）在区间（-∞，1），（-t，+∞）内递增，在区间（1，-t）内递减；
（Ⅱ）若f（x）≤xe^x-m（e为自然对数的底数）对任意的x∈[0，+∞）恒成立，
即m≤x[e^x-x²-$\frac{3（t-1）}{2}$x+3t]对任意的x≥0恒成立，
令g（x）=e^x-x²-$\frac{3（t-1）}{2}$x+3t，由于m的最大值为0，
所以g（x）=e^x-x²-$\frac{3（t-1）}{2}$x+3t≥0恒成立
由g（0）=1+3t≥0可得t≥-$\frac{1}{3}$，
当-$\frac{1}{3}$≤t＜0时，g′（x）=e^x-2x-$\frac{3（t-1）}{2}$，
再设h（x）=g′（x）=e^x-2x-$\frac{3（t-1）}{2}$，得h′（x）=e^x-2=0，解得x=ln2．h（x）在区间（0，ln2）内递减，在区间（ln2，+∞）内递增，h（x）的最小值为h（ln2）=2-$\frac{3（t-1）}{2}$-2ln2，可以判定h（ln2）＞0，
即g′（x）＞0，所以g（x）在区间[0，+∞）内递增，
则有g（x）在区间[0，+∞）内的最小值g（0）=1+3t≥0，得t≥-$\frac{1}{3}$．
所以，t的取值范围是0＞t≥-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性，函数的最值的求法，考查转化思想，分类讨论思想的应用，考查计算能力．