Question

3．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l过椭圆的左顶点A，且与椭圆相交于另一点B．
（i）若$|AB|=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，求直线l的倾斜角；
（ii）若点Q（0，y₀）在线段AB的垂直平分线上，且$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=4$，求y₀的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由离心率求得a和c的关系，进而根据c²=a²-b²求得a和b的关系，进而根据$\frac{1}{2}$×2a×2b=4求得a和b，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）（i）由（1）可求得A点的坐标，设出点B的坐标和直线l的斜率，表示出直线l的方程与椭圆方程联立，消去y，由韦达定理求得点B的横坐标的表达式，进而利用直线方程求得其纵坐标表达式，表示出|AB|进而求得k，则直线的斜率可得．
（ii）设线段AB的中点为M，由（i）可表示M的坐标，看当k=0时点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，进而根据$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=4$求得y₀；当k≠0时，可表示出线段AB的垂直平分线方程，令x=0得到y₀的表达式根据$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=4$求得y₀；综合答案可得．

解答 解：（Ⅰ）由e=$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得3a²=4c²．
再由c²=a²-b²，解得a=2b，
由题意可知$\frac{1}{2}×2a×2b=4$，即ab=2，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}a=2b\\ ab=2\end{array}\right.$，
得a=2，b=1．
所以椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（3分）
（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2，0）．设点B的坐标为（x₁，y₁），直线l的斜率为k．
则直线l的方程为y=k（x+2）．
于是A、B两点的坐标满足方程组$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+2）\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1.\end{array}\right.$消去y并整理，
得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0．
由$-2{x_1}=\frac{{16{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，得${x_1}=\frac{{2-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$．从而${y_1}=\frac{4k}{{1+4{k^2}}}$．
所以$|AB|=\sqrt{{{（{-2-\frac{{2-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}}）}^2}+{{（{\frac{4k}{{1+4{k^2}}}}）}^2}}=\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+4{k^2}}}$．
由$|AB|=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，得$\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+4{k^2}}}=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$．整理得32k⁴-9k²-23=0，
即（k²-1）（32k²+23）=0，解得k=±1．
所以直线l的倾斜角为$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．…（7分）
（ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为$（{-\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}，\frac{2k}{{1+4{k^2}}}}）$．
以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，
于是$\overrightarrow{QA}=（{-2，-{y_0}}），\overrightarrow{QB}=（{2，-{y_0}}）$．
由$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=4$，得${y_0}=±2\sqrt{2}$；    …（9分）
（2）当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为$y-\frac{2k}{{1+4{k^2}}}=-\frac{1}{k}（{x+\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}}）$，
令x=0，解得${y_0}=-\frac{6k}{{1+4{k^2}}}$，
由$\overrightarrow{QA}=（{-2，-{y_0}}）$，$\overrightarrow{QB}=（{{x_1}，{y_1}-{y_0}}）$，$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=-2{x_1}-{y_0}（{{y_1}-{y_0}}）=\frac{{-2（{2-8{k^2}}）}}{{1+4{k^2}}}+\frac{6k}{{1+4{k^2}}}（{\frac{4k}{{1+4{k^2}}}+\frac{6k}{{1+4{k^2}}}}）$=$\frac{{4（{16{k^4}+15{k^2}-1}）}}{{{{（{1+4{k^2}}）}^2}}}=4$，
整理得7k²=2．
故$k=±\frac{{\sqrt{14}}}{7}$．
所以${y_0}=±\frac{{2\sqrt{14}}}{5}$．
综上，${y_0}=±2\sqrt{2}$或 ${y_0}=±\frac{{2\sqrt{14}}}{5}$．…（12分）．

点评 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力．