Question

14．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，并且椭圆经过点$（-1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，F为椭圆的左焦点．
（1）求椭圆的方程
（2）设过点F的直线交椭圆于A，B两点，并且线段AB的中点在直线x+y=0上，求直线AB的直线方程．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和a，b，c的关系，代入点的坐标，解方程可得a，b，进而得到椭圆的方程；
（2）设直线AB的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得中点的坐标，代入直线x+y=0，解方程可得k，进而得到所求直线方程．

解答 解：（1）e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-b²=c²，
即有a=$\sqrt{2}$c=$\sqrt{2}$b，
又$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2{b}^{2}}$=1，解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）F（-1，0），设直线AB的方程为y=k（x+1），
代入椭圆方程可得，（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
即有x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
则AB的中点坐标为（-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$），
由AB的中点在直线x+y=0上，可得-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=0，
解得k=$\frac{1}{2}$或0，
则所求直线AB的方程为y=0或y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程的求法，注意运用直线方程代入椭圆方程，运用中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．