Question

9．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点B（0，-2）．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据条件便可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{4}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，这样便可解出a，b，从而可得出椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）直线的方程带入椭圆的方程可以得到（1+4k²）x²+8kx-12=0①，而以B为圆心的圆的方程可设为x²+（y+2）²=r²，从而将直线方程带入圆的方程可以得到（1+k²）x²+6kx+9-r²=0②，而根据题意知，方程①②有相同的实数根，从而有$\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}=\frac{8k}{6k}$，这样即可解出k的值．

解答 解：（1）椭圆过点B（0，-2）；
∴$\frac{0}{{a}^{2}}+\frac{4}{{b}^{2}}=1$；
∴b²=4；
椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$；
∴$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$；
即$\frac{4}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$；
∴a²=16；
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）y=kx+1带入椭圆方程并整理得：
（1+4k²）x²+8kx-12=0①；
以B（0，-2）为圆心的圆的方程设为x²+（y+2）²=r²；
将y=kx+1带入圆的方程并整理得：
（1+k²）x²+6kx+9-r²=0②；
根据题意知方程①②有相同的解；
∴$\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}=\frac{8k}{6k}$；
解得$k=±\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆的离心率，曲线上点的坐标和曲线方程的关系，以及圆的标准方程，直线和曲线的交点和直线方程与曲线方程形成方程组解的关系，清楚两个一元二次方程的解相同时，这两个方程相同．