Question

17．已知F₁，F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两焦点，过F₁且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，若△PQF₂为正三角形，则椭圆的离心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 先求出PF₁ 的长，直角三角形PF₁F₂ 中，由边角关系得tan30°=$\frac{P{F}_{1}}{{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{2c}$，建立关于离心率的方程，解方程求出离心率的值

解答 解：由已知可得，PF₁=$\frac{{b}^{2}}{a}$
∵tan30°=$\frac{P{F}_{1}}{{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{2c}$=$\frac{1-{e}^{2}}{2e}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴$\sqrt{3}{e}^{2}+2e-\sqrt{3}=0$
∵0＜e＜1
∴e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系，解方程求离心率的大小．