Question

5．一副三角板如图拼成，AB=AC，∠BAC=90°，∠DBC=30°，∠BCD=90°，将△BCD沿BC折起，使得平面ABC⊥平面BCD．
（1）若AB=$\sqrt{2}$，求四面体A-BCD的体积；
（2）求证：平面ABD⊥平面ACD．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直的性质可知△ABC的高为棱锥的高，求出△BCD的面积和棱锥的高，代入体积公式计算；
（2）由平面ABC⊥平面BCD可得CD⊥平面ABC，故CD⊥AB，又AB⊥AC，从而可证AB⊥平面ACD，于是平面ABD⊥平面ACD．

解答 证明：（1）∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，CD⊥BC，CD?平面BCD，
∴CD⊥平面ABC，
∵AB=$\sqrt{2}$，AB=AC，∠BAC=90°，∴AC=$\sqrt{2}$，BC=2，
∵∠DBC=30°，∠BCD=90°，∴CD=1，
∴V_棱锥A-BCD=V_棱锥D-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC•CD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×1$=$\frac{1}{3}$．
（2）由（1）知CD⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，
∴CD⊥AB，又∵AB⊥AC，AC?平面ACD，CD?平面ACD，AC∩CD=C，
∴AB⊥平面ACD，∵AB?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面ACD．

点评 本题考查了面面垂直的性质与判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．