Question

4．设抛物线y=mx²（m≠0）的准线与直线y=1的距离为3，求抛物线的标准方程．

Answer 1

分析 根据抛物线y=mx²写出它的准线方程y=-$\frac{1}{4m}$，再根据准线与直线y=1的距离为3，对m的正负进行讨论，即可求得m的值，进而求得抛物线的方程．

解答 解：当m＞0时，准线方程为y=-$\frac{1}{4m}$，1+$\frac{1}{4m}$=3，
∴m=$\frac{1}{8}$，
此时抛物线方程为y=$\frac{1}{8}$x²；
当m＜0时，准线方程为y=-$\frac{1}{4m}$，-$\frac{1}{4m}$-1=3，
∴m=-$\frac{1}{16}$，
此时抛物线方程为y=-$\frac{1}{16}$x²；
∴所求抛物线的标准方程为x²=8y或x²=-16y．
故答案为：x²=8y或x²=-16y．

点评 此题是个中档题．考查抛物线的定义和简单的几何性质，以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．