Question

13．公差为d的等差数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），已知S₅=a${\;}_{3}^{2}$，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）当d≠0时，数列{$\frac{1}{{S}_{n}+2n}$}的前n项和为T_n，试比较T_n与$\frac{3}{4}$的大小．

Answer 1

分析 （1）通过等差中项的性质及S₅=a${\;}_{3}^{2}$可知a₃=5，结合a₂，a₃，a₁₄成等比数列可知d=0或d=2，进而计算可得结论；
（2）通过（1）及d≠0可知a_n=2n-1，进而裂项可知$\frac{1}{{S}_{n}+2n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），并项相加即得结论．

解答 解：（1）依题意，$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{3}={{a}_{3}}^{2}}\\{（{a}_{3}+2d）^{2}=（{a}_{3}-d）（{a}_{3}+11d）}\end{array}\right.$，$\underset{\stackrel{①}{\;}}{②}$
由①解得：a₃=0（舍）或a₃=5，
将a₃=5代入②得d=0或d=2，
当d=0时a_n=5，当d=2时a_n=2n-1；
（2）由（1）及d≠0可知a_n=2n-1，
∵$\frac{1}{{S}_{n}+2n}$=$\frac{1}{\frac{n（1+2n-1）}{2}+2n}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）
＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．