Question

2．已知数列{a_n}中，a_n＞0，其前n项的和为S_n，且$4{S_n}={a_n}^2+2{a_n}，n∈{N^*}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}={（{\frac{1}{2}}）^{a_n}}$，数列{b_n}的前n项的和为T_n，若对一切n∈N^*，均有${T_n}∈（{\frac{1}{m+3}，{m^2}-6m+\frac{25}{3}}）$，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用$4{S_n}={a_n}^2+2{a_n}，n∈{N^*}$与4S_n-1=${{a}_{n-1}}^{2}$+2a_n-1，n≥2作差整理可知a_n-a_n-1=2（n≥2），进而可知数列{a_n}是首项、公差均为2的等差数列，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知数列{b_n}是首项、公比均为$\frac{1}{4}$的等比数列，利用等比数列的求和公式可知T_n∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$），解不等式即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵$4{S_n}={a_n}^2+2{a_n}，n∈{N^*}$，
∴4S_n-1=${{a}_{n-1}}^{2}$+2a_n-1，n≥2，
两式相减得：4a_n=${{a}_{n}}^{2}$-${{a}_{n-1}}^{2}$+2a_n-2a_n-1，
整理得：${{a}_{n}}^{2}$-${{a}_{n-1}}^{2}$=2（a_n+a_n-1），
又∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2（n≥2），
又∵4S₁=${{a}_{1}}^{2}$+2a₁，解得：a₁=2或a₁=0（舍），
∴数列{a_n}是首项、公差均为2的等差数列，
故其通项公式a_n=2+2（n-1）=2n；
（Ⅱ）由（I）可知${b_n}={（{\frac{1}{2}}）^{a_n}}$=$\frac{1}{{4}^{n}}$，
∴数列{b_n}是首项、公比均为$\frac{1}{4}$的等比数列，
故T_n=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$），
∴$\frac{1}{m+3}$≤$\frac{1}{4}$，且$\frac{1}{3}$≤m²-6m+$\frac{25}{3}$，
∴m≥1，且m≤2或m≥4，
故1≤m≤2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，涉及解不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．