Question

12．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D为棱AC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求直线AB₁与平面BCC₁B₁所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）连结B₁C交BC₁于E，连结DE，则DE∥AB₁，由此能证明AB₁∥平面BDC₁．
（2）取AA₁⊥底面ABC，推导出∠AB₁C为直线AB₁与平面BCC₁B₁所成角，由此能求出直线AB₁与平面BCC₁B₁所成角的正切值．

解答 证明：（1）连结B₁C交BC₁于E，连结DE，
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是BC₁的中点，
∵D为AC中点，∴DE∥AB₁，
∵DE?面BDC₁，AB₁?面BDC₁，
∴AB₁∥平面BDC₁．
解：（2）取AA₁⊥底面ABC，AA₁∥CC₁，
∴CC₁⊥底面ABC，∴CC₁⊥AC，
∵BC⊥AC，∴AC⊥平面BCC₁B₁，
∴AB₁在面BCC₁B₁的射影为B₁C，
∴∠AB₁C为直线AB₁与平面BCC₁B₁所成角，
而B₁C=$\sqrt{4+9}$=$\sqrt{13}$，AC=2，
在Rt△ACB₁中，tan∠AB₁C=$\frac{AC}{{B}_{1}C}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．
∴直线AB₁与平面BCC₁B₁所成角的正切值为$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．