Question

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，且右焦点到直线x-y+2

2

=0的距离为3，一条斜率为k（k≠0）的直线l与该椭圆交于不同的两点M、N，且满足|

AM

|=|

AN

|，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：设椭圆的方程为

x2

a2

+y2=1，得右焦点为F（

a2-1

，0），利用点到直线的距离公式结合题意算出a²=3，从而得到椭圆的方程为

x2

3

+y2=1．设直线l方程为：y=kx+b，将其与椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式算出MN的中点为P（

-3kb

1+3k2

，

b

1+3k2

），由MN垂直平分AP建立关系式算出b=

1+3k2

2

，再代入根的判别式得到关于k的不等式，解之即可得到所求实数k的取值范围．

解答：解：由题意，椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A（0，-1），
设椭圆的方程为

x2

a2

+y2=1（a＞0），右焦点为F（

a2-1

，0）
∵F到直线x-y+2

2

=0的距离为3，
∴d=

| a2-1 -0+2 2 |

2

=3，解之得a²=3，由此可得椭圆的方程为

x2

3

+y2=1．
设直线l的方程为：y=kx+b，
由

y=kx+b x2 3 +y2=1

消去y，得（3k²+1）x²+6kbx+3b²-3=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
△=64b²k²-4（1+3k²）（3b²-3）＞0，1+3k²-b²＞0…①，
∴x₁+x₂=

-6kb

1+3k2

，可得y₁+y₂=（kx₁+b）+（kx₂+b）=

2b

1+3k2

，
可得MN的中点P的坐标（

-3kb

1+3k2

，

b

1+3k2

），
∵|

AM

|=|

AN

|，
∴AP是直线MN的垂直平分线，可得AP⊥MN，由斜率之积为-1，算出b=

1+3k2

2

，
将其代入①并整理可得：（3k²+1）（k²-1）＜0，解之得-1＜k＜1，且k≠0．
综上所述，满足条件的实数k的取值范围为-1＜k＜1，且k≠0．

点评：本题给出椭圆满足的条件，求参数k的取值范围．着重考查椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查运算求解能力，方程思想、化归与转化思想，属于中档题．