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已知椭圆的一个顶点为B(0,-1),焦点在x轴上,若右焦点F到直线x-y+2
2
=0的距离为3.  
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点M、N,直线l的斜率为k(k≠0),当|BM|=|BN|时,求直线l纵截距的取值范围.
分析:(1)由椭圆的一个顶点为B(0,-1),知b=1,由焦点在x轴上,右焦点F到直线x-y+2
2
=0的距离为3,解得c=
2
.由此能求出椭圆方程.  
(2)设P为弦MN的中点,由
y=kx+m
x2
3
+y2=1
,得(3k2+1)x2+6kmx+3(m2-1)=0.利用根的判别式和韦达定理,结合题设能求出m的取值范围.
解答:解:(1)∵椭圆的一个顶点为B(0,-1),
∴b=1,
∵焦点在x轴上,∴设右焦点F(c,0),c>0
∵右焦点F到直线x-y+2
2
=0的距离为3,
∴3=
|c+2
2
|
2
,解得c=
2

∴a2=b2+c2=1+2=3,
∴椭圆方程为
x2
3
+y2=1

(2)设P为弦MN的中点,
y=kx+m
x2
3
+y2=1
得(3k2+1)x2+6kmx+3(m2-1)=0.
由△>0,得m2<3k2+1  ①,
∴xP=
xM+xN
2
=-
3mk
3k2+1

从而yP=kxp+m=
m
3k2+1

∴kBP=-
m+3k2+1
3km

由MN⊥BP,得-
m+3k2+1
3km
=-
1
k

即2m=3k2+1②.
将②代入①,得2m>m2
解得0<m<2.由②得k2=
2m-1
3
>0.
解得m>
1
2
.故所求m的取值范围为(
1
2
,2).
点评:本题考查椭圆方程的求法,考查直线的截距的取值范围的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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=0的距离为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M、N.当|AM|=|AN|时,求m的取值范围.

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2
=0的距离为3,一条斜率为k(k≠0)的直线l与该椭圆交于不同的两点M、N,且满足|
AM
|=|
AN
|
,求实数k的取值范围.

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